2016年蓝桥杯国赛B组 机器人塔（洛谷P8644）解题全解析

胡志明t

一、题目解读

2016年蓝桥杯国赛B组的“机器人塔”问题（洛谷P8644）是一个典型的组合数学与动态规划结合的题目。题目要求构建一个由A和B两种机器人组成的金字塔结构，其中每一层的机器人数量递减，且相邻机器人需满足特定规则。用户需根据给定的总机器人数量M和B机器人数量N，计算符合条件的金字塔方案总数。题目难点在于如何高效枚举所有合法状态，并验证其可行性。

二、解题思路

采用位运算与递推策略。首先，通过数学推导确定金字塔的总层数k（利用等差数列求和公式），若总机器人数无法构成完整金字塔则直接返回0。随后，利用二进制位掩码（bitmask）枚举底层所有可能的B机器人排列（用1表示B，0表示A），并通过逐层递推验证每一层的合法性：

    每层机器人由下层相邻两个机器人合并生成：若下层相邻为相同类型，生成A；不同类型生成B。

    若合并过程中剩余A/B数量不足，或层数验证不通过，则方案无效。

最终统计有效方案数。

三、解题步骤解析

1. 计算总层数k：利用k*(k+1)/2与总机器人数比较，确定**合法层数。

2. 底层排列枚举：使用二进制掩码遍历所有2^k种排列，统计B数量验证边界条件。

3. 逐层递推验证：

    初始化当前层为底层掩码，剩余A/B数量。

    对每一层，从高位到低位遍历，根据相邻位状态生成下一层，并更新剩余数量。

    若某层合并失败或剩余数量耗尽，标记方案无效。

4. 统计有效方案：当所有层验证通过且剩余数量为0时，累加方案数。

四、代码与注释

1. #include <iostream>
   
2. #include <vector>
   
3. using namespace std;
   
4. 
   
5. int count_bits(int x) { // 统计二进制中1的个数（即B数量）
   
6.     int cnt = 0;
   
7.     while (x) {
   
8.         cnt += x & 1;
   
9.         x >>= 1;
   
10.     }
    
11.     return cnt;
    
12. }
    
13. 
    
14. int main() {
    
15.     int M, N;
    
16.     cin >> M >> N;
    
17.    
    
18.     // 计算总层数k
    
19.     int total = M + N;
    
20.     int k = 1;
    
21.     while (k*(k+1)/2 < total) k++;
    
22.    
    
23.     if (k*(k+1)/2!= total) { // 层数不匹配直接退出
    
24.         cout << 0 << endl;
    
25.         return 0;
    
26.     }
    
27. 
    
28.     int ans = 0;
    
29.     // 枚举**层所有可能的排列
    
30.     for (int mask = 0; mask < (1 << k); mask++) {
    
31.         int a = 0, b = count_bits(mask); // 统计当前层A/B数量
    
32.         if (b > N || (k - b) > M) continue; // 超出边界跳过
    
33.         
    
34.         int valid = 1;
    
35.         int current = mask; // 当前层掩码
    
36.         int remain_a = M - (k - b); // 剩余A需生成
    
37.         int remain_b = N - b; // 剩余B需生成
    
38.         
    
39.         for (int layer = k-1; layer >= 1 && valid; layer--) {
    
40.             int next_layer = 0; // 下一层掩码
    
41.             int new_a = 0, new_b = 0;
    
42.             
    
43.             for (int i = 0; i < layer; i++) {
    
44.                 bool left = current & (1 << i); // 左机器人
    
45.                 bool right = current & (1 << (i+1)); // 右机器人
    
46.                 if (left == right) { // 生成A
    
47.                     if (remain_a <= 0) { valid = 0; break; }
    
48.                     remain_a--;
    
49.                     next_layer |= (0 << i); // 标记为A
    
50.                 } else { // 生成B
    
51.                     if (remain_b <= 0) { valid = 0; break; }
    
52.                     remain_b--;
    
53.                     next_layer |= (1 << i); // 标记为B
    
54.                 }
    
55.             }
    
56.             current = next_layer; // 进入下一层
    
57.         }
    
58.         
    
59.         if (valid && remain_a == 0 && remain_b == 0) { // 全部生成成功
    
60.             ans++;
    
61.         }
    
62.     }
    
63.    
    
64.     cout << ans << endl;
    
65.     return 0;
    
66. }

复制代码

五、总结

该解法巧妙利用位运算减少状态空间，结合递推思想高效验证金字塔结构。通过数学推导确定层数k，避免了暴力枚举所有排列的复杂度。代码中逐层合并逻辑清晰，利用二进制位直接操作相邻机器人状态，是解决此类组合问题的经典范例。理解该思路有助于提升动态规划与位运算的应用能力。

来源：2016年蓝桥杯国赛B组 机器人塔（洛谷P8644）解题全解析