2014年蓝桥杯省赛A组波动数列（洛谷P8614）：模运算+动态规划

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一、算法思路

波动数列是蓝桥杯经典赛题，要求计算满足特定条件的数列数量。本文将详细解析动态规划解法，帮助算法初学者掌握状态设计和转移技巧。

二、完整代码C++

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;const int MOD = 100000007;// 自定义取模函数处理负数inline int mod(int x, int n) {    return (x % n + n) % n;}int main() {    int n, s, a, b;    cin >> n >> s >> a >> b;        // dp[j]表示前i项的和模n等于j的方案数    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));    dp[0[0 = 1;  // 初始状态：0项和为0有1种方案        for (int i = 1; i < n; i++) {        for (int j = 0; j < n; j++) {            // 状态转移：当前项可以+a或-b            dp[i[j = (dp[i-1[mod(j - a*i, n) + dp[i-1[mod(j + b*i, n)) % MOD;        }    }        // 输出结果：满足s ≡ sum mod n的方案数    cout << dp[n-1[mod(s, n) << endl;    return 0;}三、关键算法解析

• 问题建模：
  
  
  • 将数列视为每次选择+a或-b的决策序列
  • 利用模运算缩小状态空间
    
    
• 动态规划设计：
  
  
  • 状态定义：dp[j]表示前i项和模n等于j的方案数
  • 初始状态：dp[0][0] = 1（空序列和为0）
  • 状态转移：考虑+ai和-bi两种情况
    
    
• 负数处理技巧：
  
  
  • 自定义mod函数处理负数取模
  • 确保数组索引始终有效
    
    

四、常见问题解答

Q：为什么要使用模运算？ A：模运算可以大幅缩小状态空间，将无限可能转化为有限状态。

Q：状态转移方程如何理解？ A：当前状态值来自两种选择方案数的和：前一步选择+a或前一步选择-b。

Q：如何处理大数问题？ A：每一步都取模，防止数值溢出并符合题目要求。

来源：竞赛资料